Faktorová skóre

Závěrečnou etapou faktorové analýzy bývá odhad faktorového skóre, tj. stanovení hodnoty společných faktorů F1, F2, F3 ,… Fm pro každého z n pozorovaných jedinců. Faktorová skóre slouží jednak jako charakteristika sledovaných jedinců, jednak jako umělé proměnné pro další analýzy.

Na první pohled je jasné, že stejně jako není jednoznačně určeno faktorové řešení, nelze jednoznačně určit ani faktorová skóre. Pokud se spokojíme s hrubými odhady, můžeme si faktorová skóre u každého jedince představit jednoduše jako součet skóre těch manifestních proměnných, které sytí daný faktor, popřípadě pro upřesnění využít výsledků faktorové analýzy a skóre manifestních proměnných vynásobit (vážit) příslušnými faktorovými zátěžemi. V praxi se používají přesnější matematické metody, které zohledňují nejen faktorové zátěže, ale i rozptyly jedinečností. Nejpoužívanějšími metodami odhadu faktorových skóre jsou regresní metoda a zobecněná metoda nejmenších čtverců. Společným znakem obou těchto metod je, že faktorová skóre lze počítat z rotovaného i nerotovaného faktorového řešení podle stejného vzorce. Častěji se ale používá rotované faktorové řešení.

Regresní metoda získala svůj název na základě následující úvahy: Ve faktorovém modelu (1) známe regresní váhy k manifestních proměnných na  m společných faktorech spolu s jejich rezidui. Je celkem přirozené se ptát, zda je možné role závislých a nezávislých proměnných vyměnit a odhadovat faktory F1, F2, F3 ,… Fm  na základě jejich regrese na manifestních proměnných X1 , X2 , X3, … Xk. Regresní koeficienty faktorů na proměnných jsou přitom různé od regresních koeficientů proměnných na faktorech, tj. faktorových zátěžích.

Odhady faktorových skóre získané regresní metodou nejsou nestranné a nekorelované. To znamená, že i v případě nekorelovaných standardizovaných faktorů (tj. se střední hodnotou 0), mohou být střední hodnoty odhadů faktorů různé od nuly a jejich korelační koeficienty různé od nuly. V praxi bývají odchylky od nuly jak u středních hodnot, tak u korelačních koeficientů malé a většinou není třeba se jimi znepokojovat. Tento nedostatek regresní metody je více než vyvážen skutečností, že matematicky platí, že korelace regresních odhadů s faktory v daném základním souboru jsou nejvyšší ze všech možných odhadů faktorových skóre.

Jiná situace nastává, jestliže nás zajímá odhad faktorového skóre u vybrané osoby. Tady by se vychýlenost odhadu mohla ukázat jako nežádoucí a může být vhodnější použít druhou z nejpoužívanějších metod odhadu faktorových skóre. 

Zobecněná metoda nejmenších čtverců je založena na minimalizaci součtu čtverců vážených reziduí, tj. součtu podílů čtverců reziduí ku jejich jedinečnostem. Protože každé reziduum lze podle (1) vyjádřit jako lineární funkci latentních a manifestní proměnné, znamená to vlastně najít takové odhady latentních proměnných, které tento součet čtverců minimalizují. Odhady získané zobecněnou metodou nejmenších čtverců mají menší korelace se skutečnými faktory než regresní odhady. Podobně jako regresní odhady jsou navzájem korelovány, i když faktory korelovány nejsou. Korelovány jsou ale pouze s těmi faktory, k jejichž odhadu slouží. Korelace s ostatními faktory jsou na rozdíl od regresních odhadů nulové. Největší výhodou odhadů faktorových skóre zobecněnou metodou nejmenších čtverců je jejich nestrannost. Navíc za předpokladu normálního rozdělení umožňují stanovit pro odhad skutečných hodnot faktorů intervaly spolehlivosti.